１キューリーは何ベクレルか？
これをちゃんと計算してみます。
【対象：高校生の数学レベル。対数の話が出てきます。最後の問いは高校生の物理学レベル。アボガドロ数が出てきます。】
まず、半減期で半分になる。
この式を出してみます。
■グラフを作る
半減期：半分になる時間＝Ｔ0 とします。
最初に原子が Ｎ 個
半分で Ｎ／２個
更に半分で Ｎ／４個
・
・
これを次の式にします。
n = Ｎ0 ＊ Ｋ
Ｋは、
T0 : 1.0
T0*2: 0.5
T0*3: 0.25
T0*4: 0.125
この Ｘ軸にt
Ｙ軸に Ｋ をプロットすると。。
Fig1:半減期(T0)で半分、半減期の2倍(T0*2)で１／４のグラフ
■片方（Ｙ軸）を対数軸にする
半分、半分、半分、こういう時には対数を使うと簡単になる。
「２を底にする対数」にすると簡単だ。
ｌｏｇ（２）
普通ｌｏｇは、１０を底にする関数でlog(10)だけど、省略してlogとかく。
で２を底にする対数ってのは、
ｌｏｇ（２）２＝１
ｌｏｇ（２）４＝２
ｌｏｇ（２）８＝３
２のベキ乗のちょうど逆の関係。
2^1=2
2^2=4
2^3=8
１より小さい方は、
ｌｏｇ（２）１＝０
ｌｏｇ（２）０．５＝ −１
ｌｏｇ（２）０．２５＝ −２
ｌｏｇ（２）０．１２５＝ −３
なので、
さっきのグラフは、縦軸（Y軸）のみを２を底にする対数の軸にすると、
Fig2 Y軸を２を底にする対数軸にしたグラフ
そう、簡単な右下に下がる直線になる！
こうすれば、グラフの式を求めるのは簡単だ。中学で習う直線の式だ。
y = ax + b
a:傾き
b:y切片
x,y = 0,0 を通るので、簡単な y = ax の式。
時間 T0にて、logK=-1なので、
式：y = -(1/T0)*x
よって、
ｌｏｇ（２）Ｋ ＝ −ｘ/Ｔ0
片対数を元に戻す。
K = 2 ^ ( -x/T0 )
最初に有る原子の数を Ｎ0とすれば、
ある時刻 ｔ （Ｘ軸を時間の意味を表すｔに変える）
に残っている原子の数 ｎ は、次の式で表される。
n = N0 * K
= N0 * 2 ^ ( - t /T0 )
■１秒後には幾つになるのか？
さてでは、いよいよ、１キューリーの定義の数字を求めてみよう。
測定開始の時に Ｎ0個あった原子は、１秒後に、幾つになるか。
n = N0 * 2 ^ ( - t /T0 )
答えは、
最初：Ｎ0個
１秒後：Ｎ0 * 2 ^ ( - 1/T0)
１秒間に核崩壊する数を求めると、
Δｎ ＝ Ｎ0 − Ｎ0 * 2 ^ ( - 1/T0)
Δｎ ＝ Ｎ0 ＊( 1 - 2 ^ ( - 1 / T0 ) )
これが求める式だ。お疲れ。
■おまけ Cs137の減衰カーブ
Mac OS X に Grapherという無償アプリが入っている。
式を入れると図を作ってくれる。
K = 2 ^ ( -x/T0 )
これを書いてみた。
T0_Cs137： 30年
T0_I131： 8年
T0_Ra226： 1600年
だそうだ。
３０年をそのまま入力すると横軸が大きすぎるので、１／１００で入力してある。よって、横軸は、１００倍して年に換算して見てください。
■１キューリーは何ベクレルか？
昨日の記事：
http://d.hatena.ne.jp/scanner/20110908/1315455481
では、えいや！で計算した数字を今日求めた式を使って、きちんと求めてみます。
Ｑ：１キューリーは何ベクレル？
「ラジウム１グラムの放射能を１キューリー」（キューリーの定義）
「１モルの ラジウムは原子量の ２２６グラム」（物理学）
「１モルの 原子数は 6.02 * 10^23ケ」（物理学：アボガドロ数）
以上から、
１６００年は、５．０ * １０＾１０秒
１秒に何個ラジウムが核崩壊するか？ の計算は、
Ｎ0 ラジウム１グラムあたりの個数：
＝ (6.02 * 10^23)/226 = 2.664 * 10^21
１秒間に核崩壊する数は、さっき求めた式：
Δｎ ＝ Ｎ0 ＊( 1 - 2 ^ ( - 1 / T0 ) )
= (2.664 * 10^21)/( 1-2^(-1/5.0 * 10^10))
= 3.66 * 10^10 Bq
= 36.6 * 10^9 Bq
= 36.6 GBq
ということで、
Ａ：１キューリーってのは、３７ギガベクレルだ。
■応用問題：
Ｑ２：チェルノブイリ 強制（義務的）移住ゾーンは何ベクレルか？
http://www.rri.kyoto-u.ac.jp/NSRG/
http://www.rri.kyoto-u.ac.jp/NSRG/seminar/No102/imanaka060414.pdf
第102回原子力安全問題ゼミ
2006.4.14
チェルノブイリ２０年：事故の経過、汚染、被曝、影響
今中哲二＠京都大学原子炉実験所表2より
>40 Ci/km^2：強制避難ゾーン
15~40 Ci/km^2：強制（義務的）移住ゾーン
5~15 Ci/km^2：希望すれば移住が認められるゾーン
1~5 Ci/km^2 : 放射能管理が必要なゾーン
Ａ２：答え
